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借力解题,让数学学习事半功倍
郇 玲

 
  

借力解题,让数学学习事半功倍

松江一中  郇 玲

  《红楼梦》里有句话叫“好风凭借力,送我上青云”。在数学学习中,学会转化,学会借力,也能达到事半功倍之效。《新课标》指出:解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原有问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想。”而如何在教学过程中向学生渗透转化思想,让他们学会借力解题,是值得高中数学老师需认真思考的课题。笔者以最近的一节教学公开课《运用补体法巧解立体几何问题》为例谈谈自己的观点。
  
一、学会转化,感受转化给解题带来的全新思路与便捷
  
《新课标》提倡教师要创造性的使用教材,要根据学生的学习经验来整合教材。本案例中的例1是立体几何中“度量”问题的一个基本问题—求两条异面直线所成的角,通过此题可以很好的感受转化给解题带来的便捷,同时也充分体现《新课标》中“根据学生发展的实际情况创造性地取舍、补充和调整,使教材的内容更加符合学生的需要”。
  
引例如图,点在正方形所在平面外,平面,则异面直线所成的角为          .
 

  学生积极思考后,提出以下两种解法:
  
方法1:利用“中位线平移”,把平移到平移到,则(或其补角)即是所求角,但当把此角放入中求。(图1
  
方法2:利用空间向量:以为坐标原点,轴,轴,轴建立空间直角坐标系,借助空间向量,把此几何问题进行代数化,可通过计算算出所成的角。(图2

 

       






  师生交流后得到以下共识:
  
方法1是解决两条异面直线所成角的基本方法,首先求出的三条边长,再利用余弦定理求出这种方法的弊端是思维量和运算量都较大
  
方法2是解决含有三条两两垂直的棱的几何体常用的方法,空间向量的优点是将几何问题代数化,解题的思维量大为减少,但运算量有所增加。
能否在思维量和运算量都减少的情况下解决此题?
  
教师启发:空间直角坐标系是在此几何体有“三条两两垂直且相等的侧棱”这一特点的基础上建立的,什么常见几何体具有这个性质?是否可将此几何体视作某正方体的一个部分?如果能把此几何体补成正方体,在正方体内解决问题可能会更简单了。从而得到方法3把原图补成正方体,就会发现此题原来是正方体的两个面对角线所称的角,通过平移一条对角线,很快得到夹角为。(图3
 

  
补体法是指将原有的立体几何图形补充一部分,形成一个新的立体几何图形,通常是将不规则或者特殊图形,通过“补体”构造为规则图形,再在新的图形中还原原来的问题,使问题的本质得到凸显,将复杂问题简单化。补体转化让问题的实质更加凸显,使对问题的理解更加深入。
  
二、通过补体转化,可以借力正方体,使问题简单易做
  
《数学学科教学基本要求》中把“图形割补的思想方法”列为难点,在多个知识点中提到体会“图形割补”,可见其重要性。当然“割补”中,不论是“割”还是“补”,都是把不规则图形向规则图形转化,而立体几何中,规则图形的首选当属正方体了。在学习立体几何时,应对正方体的作用进行挖掘和应用,这样能起到事半功倍的效果。引例就是一个很好的借助正方体解题的例子。
  
1.如图,正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上,则在下列命题中,错误的是( )
  
A 是正三棱锥
  
B 直线平面
  
C 直线所成的角是 
  
D 异面直线之间的距离与异面直线之间的距离相等
 

        师:读完例1,同学们做题有什么思路吗?
  
生:补体。
  
师:那如何补体?
  
1:在原图上,过点做的平行线,过点做的平行线,两条平行线交于E点,再过点做的平行线,过点做的平行线,根据正四面体的侧面都是等边三角形可得是正方体的一个顶点,于是可以补出如图正方体。
  
2:补体也可以不在原图上补。还可以先做一个正方体,然后找到对应的点对号入座。比如原题图中的点我对号到正方体···这样就可以在新的正方体中画出原图的立体几何体了,补体也就完成了。如图。
 
  
师:生1和生2两位同学给我们提供了2种补体的方法,生1的方法是直接在原图上“补”出完整的正方体,生2是重新画一个空的正方体,然后通过对号入座进去,其实不是在“补”,是在对照着找,最后呈现的是“补体”的效果。我觉得两种方法都很好,以后大家可以根据具体的题目选用这两种方法之一。可能在较简单的立体几何图形时生1的方法比较便捷,当立体几何图形复杂时不妨采用生2的方法。好,现在完成了“补体”,我们开始判断下面四个选项的对错吧。
  
3是对的,因为的底面是正三角形,且,所以的投影是的中心,即是正三棱锥。
  
4选项似乎不那么肯定,不太好判断,那就用排除法,看一下后面两个答案。直线所成的角可通过平移转化为直线所成的角,在中易得直线所成的角为
  
5选项中“异面直线之间的距离与异面直线之间的距离相等”可转化为正方体两个平行平面间的距离,即就是正方体的棱长,所以易得也是对的。故用排除法也可得是错的。
  
师:这个题目如果不补体,可能难度会非常大,通过补体转化把整个问题转化到正方体内解决,四个问题就变得易解很多了,借助正方体这个我们非常熟悉的几何体使得答案变得简单易得。
  
正方体是学生比较熟悉的几何体,它包含了立体几何中研究的点、线、面元素及各元素间的关系。它为立体几何中的线线、线面、面面的位置关系研究提供了具体的实例。正方体可以“一物多用”,是个“万能模型”,它是立体几何教学中理想的、不可或缺的几何体。
  
三、转化与化归,使知识网络更加细密,感受数学学习的融会贯通
  
成功的教学不仅要学生学会,而且要学生“会学”,即要学生会独立、主动地去获取已有知识,会创造性地探索新的知识。而要学生会学数学,就必须让学生掌握基本的数学思想和方法。《数学学科教学基本要求》中指出:“立体几何是初中平面几何课程的延续和发展”“立体几何的学习有助于提高逻辑思维能力、空间想象能力、计算能力”,“体会空间问题与平面问题之间的联系和转化”···在转化中,很多知识之间的联系就显现出来了,也只有这样才更能体会数学知识的网络结构化,感受到数学学习的融会贯通。本节课的探究环节就是点睛之笔,充分体现知识之间的联系。
  
探究:采用“割”的思想,看看能从正方体中得到哪些基本几何体?
  
生:看看能得到什么样的正方体,可以拿一个平面去截正方体试试。比如,平面与底面平行就可以截得长方体,平面沿对角面截就是三棱柱。如下图:
       
  
生:还可以通过拿掉一些线而仅仅保留整体体的局部图形,但又是不封闭的,不成几何体的。

如下图:
 

 
生:还可以采取在正方体里找四个点,然后依次连线,就会产生很多种三棱锥,比如以下四种,如图所示:
 
       
  
师:以上三位同学给我们例举了由正方体可以得到的一些比较常见和基本的图形、几何体,他们的分类很明确,分成三类,一类是由正方体得到的线面关系,一类是由正方体得到的棱柱,一类是由正方体得到的棱锥。当然这三类每一类都可以举出非常多的例子,我们就不一一例举,但我们通过这个探究可以很好的体会一下我们碰到的非常的几何体,其实都是由正方体“切割”而成的,这样探究后大家以后对这些图的辨识度也会增加很多。
  
数学思想方法是数学学科教学的灵魂,理解和运用数学思想和方法的意识和能力只有在活动与数学交流中不断领悟才能实现。要重视向学生渗透数学思想与方法,帮助他们综合归纳形成理性的认识,让他们学会数学地思考。因此,在完成本节课的教学任务后,师生共同从研究的内容与过程、方法和策略两方面总结自己的学习收获和心得,并引出一道思考题为本节课留有“余味”。
  
总之,在立体几何的教学中,要有意识加强对长方体、正方体等几何体的认识,增强学生的空间想象能力。学会借力,学会把问题转化到正方体这样的规则图形中去解决会让问题解得事半功倍。

 

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