搜索
 
关注概念形成过程,促进学生数学理解
邹莉莉 潘 勇

 
  

关注概念形成过程,促进学生数学理解

         ——以《18.3反比例函数(1)》为例

上海外国语大学松江外国语学校  邹莉莉 松江区教师进修学院 潘 勇

  概念是思维的细胞;“数学根本上是玩概念的,不是玩技巧.技巧不足道也!”[1]然而,当前的课堂教学中,不重视概念教学是一个比较普遍的现象。“一个定义,三项注意”式的抽象讲解,在学生对概念还没有基本理解的时候就要求学生进行概念的综合应用,许多老师甚至认为教概念不如多讲几道题目更实惠。更令人担心的是,有些老师不知如何教概念。[2]
  
从教育与发展心理学的观点出发,概念教学要以若干典型具体事例为载体,引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。概念教学要强调让学生经历概念的概括过程。
  
从数学教学的角度看,教学是将知识的发生、发展、形成和应用与学生的认知自然融合的过程,即根据中学数学学科特点、学生已有的认知水平,通过模拟数学知识产生、发展演变的过程,创设适宜的问题情境和学生动手、动脑、动口的机会,引导学生积极主动地进行思维活动,掌握知识的本质和来龙去脉,使认知结构不断发展,数学观念逐步形成的过程。
 笔者2014年参加上海市中青年教师教学评比,执教《反比例函数》这节课获得上海市一等奖。本文以这节课为例,阐述在教学过程中,如何关注课与课之间的内在联系、关注反比例函数概念形成的过程、力求用问题链引导学生学习、着眼于课堂理解和对话,从而促进学生数学理解。

一、关注课与课之间的内在联系

函数是初中数学的重要内容之一,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型。反比例函数是最基本的函数之一,它是函数概念、正比例函数后续学习内容,主要学习内容包括反比例函数的概念、图像、性质和运用。学习反比例函数,不仅让学生进一步理解函数概念,熟悉研究函数的过程与方法,而且为继续学习一次函数、二次函数埋下知识和方法的种子。上述学习过程,可以用下图来表示:

 
  我们既要关注数学知识、概念之间的内在联系,还要关注认知过程与方法之间的联系。例如:在教学中,我先以流程图的方式呈现了正比例函数的学习过程,复习正比例函数的相关内容和研究方法,建立学习内容前后之间的联系,明确了这节课研究的方向和学习函数的一般方法。通过复习正比例函数相关知识的学习过程,即:实际问题两个变量成正比例正比例函数定义正比例函数解析式函数图像函数性质具体一点,可以用如下框图来表示(2)
QQ图片20141004073126
  类比正比例函数,我们可以得出学习反比例函数的流程图(图3所示),让学生体验从实际问题出发到建立反比例函数解析式的过程,初步体验用函数思想去描述、研究变量之间的变化规律。教会学生知识,完善知识结构,明确研究思路,还启发学生如何学习数学。

QQ图片20160516204743

  二、关注反比例函数概念形成的过程
  
一般而言,概念教学应该经历如下几个基本环节:背景引入;通过典型、丰富的具体例证(要尽量让学生自己举例),引导学生开展分析、比较、综合的活动;概括共同本质特征得到概念的本质属性;下定义(用准确的数学语言表达,可以通过看教科书完成);概念的辨析,即以实例(正例、反例)为载体,引导学生分析关键词的含义,包括对概念特例的考察;用概念作判断的具体事例。这里要用有代表性的简单例子,其目的是形成用概念作判断的具体步骤;概念的“精致”,主要是建立与相关概念的联系,形成功能良好的数学认知结构。
  
根据概念教学的规律和学生认知特点,本节课在概念形成的教学中,主要过程如下:
  
1)通过三个情境问题引入
  
【情境1在一块平地上,划出一个占地面积为100平方米的长方形区域,这个长方形的相邻两边的长可以分别取不同的数值,它们是两个变量,设其中一边为米,另一边为.
  
1)当取下列数值时,填表:

(米)

10

20

30

40

50

60

70

80

(米)

 

 

 

 

 

 

 

 

  (2)什么量在变?什么量不变?变量的相互关系用怎样的数学式子表示?
  
【情境2某条高速公路全长166千米,一辆汽车在这条高速公路上行驶,走完全程所需的时间(时)与汽车行驶的平均速度(千米/时)有什么关系?
  
【情境3货物的总价是200元,货物的单价元与货物的数量件有什么关系?
  
【设计意图】从学生熟悉的生活实际出发,通过列表、填写数据,了解变化与对应的思想,让学生感受“变中不变”的规律。这些情境问题难度小,起点低,学生容易上手。丰富的实例可以为形成反比例关系奠定基础,充分发挥了学生的能动性。
  
2概括共同本质特征
  
让学生阐述上述这些例子的共同特征,学生们都能说出不是我们以前学的两个变量成正比例。通过对话交流,引导学生归纳概括共同本质特征,使学生得到两个共同要素:一是有两个变量,二是变化规律都是“”。
  
3)通过概括得出定义
  
通过列举实例、概括、归纳以及类比两个变量成正比例等方法,引导学生准确地得到了两个变量成反比例。对于不同情境问题的分析,观察其中的相同之处,这种异中求同的思维也是数学学习的重要品质之一。
  
4概念的辨析
  
【问题1下列问题中的两个变量是否成反比例?如果是,可以用怎样的数学式子来表示?
  
1)平行四边形的面积为20平方厘米,变量分别是平行四边形的一边长(厘米)和这条边上的高(厘米)。
  
2)被除数为100,变量分别是除数和商.
  
3)一位男同学练习打600个字,变量分别是男生每分钟打字的个数(个)和完成工作量所用的时间(分)。
  
【设计意图】概念形成后,这组源于课本例题进一步帮助学生理解反比例概念,为上升到反比例函数作铺垫。
  
【问题2下列函数(其中是自变量)中,哪些是反比例函数?哪些不是?为什么?如果是,请写出反比例函数的比例系数。
(1) 2 3 
45是常数,
6是常数)(7
  
【设计意图】从“成反比例”和“函数”两方面辨析概念。正例和反例,使学生更好理解概念的内涵和外延,更进一步明确反比例函数的两个要素。这里也包含用概念作判断的“操作步骤”:第一步,看是否随的变化而变化,任意一个是否唯一对应一个的值;第二步,“自变量与相应的函数值是否成反比例”,也就是看的乘积是否为一个不等于零的常数。
  
5)概念的简单运用
  
【例2已知的反比例函数,且当1)求关于的函数解析式;(2)当x= 时,求的值;(3)当时,求的值。
  
课堂练习2已知成反比例,并且当时,,求的函数关系式。
  
【设计意图】例题2巩固反比例函数概念,会用待定系数法确定反比例函数解析式,并给学生示范解题格式。课堂练习2让学生更好地理解反比例概念,了解“反比例”与“反比例函数”的关系。本题中,成反比例,但不是的反比例函数。
  
三、用问题引导学生学习
  
没有问题,就没有数学活动,也就谈不上活动过程。因此,精心创设问题情境是过程教学不可缺少的教学环节,它即要体现教学目标,又要体现数学知识的发生发展过程,还要适应学生的认知发展水平。问题情境的内容要与课堂教学中心和重点紧密联系,选择的问题要有启发性、探索性、开放性,而不是对答如流的假问题和假交流,也不是按部就班的程序操作。教师更应该发挥问题的作用, 用问题引导学生去感受数学概念、数学原理的重要性;用问题引导学生有序地进行思考;用问题引导学生体验蕴含其中的数学思想方法;用问题引导学生学会发现。为此,在本节课的设计和教学过程中,设计了一系列的问题,如:
  
问题1学习了正比例函数,你能总结“正比例函数”一节研究的内容、过程与方法吗?
  
【设计意图】复习正比例函数的相关内容和研究方法,建立学习内容前后之间的联系。
  
问题2:(呈现一组实例后)上述这些例子,有什么共同特征?是我们以前学的两个变量成正比例吗?
  
【设计意图】通过对话交流,引导学生归纳概括共同本质特征,得到两个变量成反比例的定义。
  
问题3:(得到反比例的定义后)如何用函数的观点解释上述问题?
  
【设计意图】启发学生从函数的角度认识问题,认识反比例与反比例函数的关系通过用函数概念解释,让学生体会“两个量成反比例”上升到“反比例函数”的过程,其中主要是确定谁是自变量,谁是谁的函数。学生通过阅读课本:明确反比例函数的定义、表示方法(文字、符号);通过举例,了解学生对概念的理解情况。引导学生共同概括出反比例函数的概念。反比例函数:解析式形如(k是常数,k0)的函数叫做反比例函数,其中叫比例系数反比例函数      的定义域为不等于零的一切实数
  
问题4:何为“正比例”?何为“反比例”?正比例关系是一个变量增大,另一个变量也增大吗?反比例关系是一个变量增大,另一个变量就减小吗?
  
对反比例概念的理解是个难点,课前我做了访谈,有62.3%的同学误认为,正比例关系是一个变量增大,另一个变量也增大,反比例关系是一个变量增大,另一个变量减小;为此,在教学设计时,我设计了设计课堂练习3,即比例系数是负数时,通过两个变量变化规律的探索,让学生明确反比例关系究竟是什么,提升学生思维的有效性。
  
课堂练习3已知的反比例函数,根据部分数据,完善表格。

……

1

2

3

4

6

8

……

……

 

-12

 

 

 

 

……

  在这个例题教学中,要求学生根据一组数据完善表格,学生出现了两种不同的结果:
  
学生甲:

……

1

2

3

4

6

8

……

……

-6

-12

-18

-24

-36

-48

……

  学生乙:

……

1

2

3

4

6

8

……

……

-24

-12

-8

-6

-4

-3

……

  我并不急于做“裁判”,师:到底谁填的正确?
  
甲还是认为自己正确:两个变量比值是6
  
乙同学纠正到:的反比例函数,两个变量的乘积不变。这里的
  
随后,师生围绕问题展开讨论、交流:学生甲的表格里,的值乘以4的值也乘以4比值不变;学生乙的表格里,的值乘以4的值就必须乘以乘积不变,这就是我们要研究的成反比例的两个变量之间的变化关系。
  
通过这个问题的引导,促进了学生理解“成反比例关系的两个变量,当一个变量变成原来的倍,另一个变量变成原来的,两个变量的乘积不变”,有效地化解了学生对“反比例关系是一个变量增大,另一个变量减小”的不准确的直觉认识。这种用思维方法的指导为学生提供开展评价和反思的空间的策略是课堂的高潮部分,也真正促进学生数学理解。
  
四、关注过程,促进数学理解
  
“为理解而教”是国际数学教育改革的基本趋势,也是我国新课程倡导的重要理念,理解数学概念是本节课核心目标。课堂教学中,采取各种方法或手段主要是为了帮助学生积极地、正确地理解。创设情境可以建立日常经验与课本知识之间的联系,帮助学生理解数学知识的意义;运用变式可以突出数学概念的本质属性与非本质属性,帮助学生理解概念的内涵;举例是数学课堂教学中最常用的方法,通过围绕主题列举各种典型例题,帮助学生理解有关知识之间的联系。
  
1、关注对话,促进理解
  
弗莱雷说:“没有了对话,就没有了交流;没有了交流,也就没有了真正的教育。”有效的交流不仅仅是学生对思维结果和思维过程的表达,更是多种观点的分析、比较、归纳、批判和整合的互动过程,并最终形成学生对数学的深刻理解。课堂上师生、生生之间的互相交流往往能起到相互启发的作用。关注学生的课堂交流,使学生真正能在交流中相互倾听、接纳、分享、互助。例如:从反比例关系到反比例函数概念的理解是个难点,引导让学生用函数的观点来解释这个问题,充分交流后,让学生阅读课本来领悟。
  
2、关注联系,促进理解
  
学习数学不能将知识孤立起来、割裂开来,应注意数学知识之间的联系。在数学教学中,教师要引导学生对所学知识进行归纳总结。对知识进行归纳、整理,并不是罗列所学过的定义、定理、法则等,而是建立知识间的内在联系与区别。通过绘制知识结构框图,知识之间的关系从图中一目了然,这样可以帮助学生形成良好的认知结构。
  
例如,图2总结的是正比例函数学习的过程,它的总结过程不仅有助于正比例函数的理解,而且有助于对反比例函数的理解;本节课总结时,师生共同梳理如下知识结构:

  这样,不仅教会学生知识,同时对研究方法加以归纳和概括,力图使学生收获一些普适性的研究套路,对知识的探索总是围绕着“它是什么”、“为什么是这样”、“如何加以研究”展开。
  
针对学生容易受日常概念的影响,形成“反比例”就是一个量变大,另一个量就变小;一个量变小,另一个量就变大的误解;在理解定义的过程中,通过与“正比例”对比,即若的正比例函数,当变量变成原来的倍,另一个变量也变成原来的倍;而“反比例”是当一个变量变成原来的倍,另一个变量变成原来的    ,两个变量的乘积不变。借助对“反”的英文inverse的释意的介绍,再次巧妙地解读了概念的内涵,起到了“画龙点睛”的效果。中文里的“反”容易让人联想到正负相反,而反比例函数inverse proportional function 中的inverse有颠倒、倒置的意思,当一个变量变成原来的倍,另一个变量变成原来的   ,两个变量的乘积不变,变化规律成倒数关系。揭示概念本质特征,促进数学理解,体现学科育人价值。

【参考文献】
  
1李邦河.数的概念的发展[J].数学通报,2009488):1-3
  
2章建跃.中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考,20103):4-5

 

松江区教育局主办 编辑部:松江区教师进修学院信息部 地址:松江区方塔北路318号 电话:57833274 邮政编码:201600
上海市松江教育局©2007版权所有 沪ICP备05010133号