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回归问题本源,提升数学核心素养
苏有马

 
  

回归问题本源,提升数学核心素养

——由一道例题引发的教学思考

上海师范大学附属外国语中学  苏有马

  数学核心素养是课程目标的集中体现,是具有数学基本特征,适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格的关键能力.高中数学核心素养主要包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面的素养。学生的数学素养的具体体现就是学习数学的能力以及运用数学知识解决问题的能力。
  
高中数学核心素养中的逻辑推理能力是高中生必须具备数学基本能力之一。比如高中数学中的“证明题”就能充分体现学生逻辑推理能力。本文尝试以一道不等式证明题的教学实录为例,就如何在课堂教学中培养学生数学核心素养——逻辑推理能力谈一点自己的实践与思考。
  
一、问题提出
  
在学习《不等式的性质》这部分内容时,讲授完大小比较的基本方法后,笔者给学生出了这样一道例题:
  
,试指出的大小关系,并给予证明。
  
学生拿到这道题目后,直接采用作差法得到了下面的结果:,之后就无法继续进行下去。
  
在同学们陷入解题困境时,笔者适时介入,和学生展开了一系列的互动。期望通过引导,追根溯源,回归问题的本源,予以解决此题,从而提升学生逻辑推理能力。
  
二、问题解决
  
师:这是一个大小比较的问题,同学们利用作差法应该是没问题的。你现在的遇到的困难是什么?
  
生:不能因式分解。
  
师:为什么要因式分解呢?
  
生:可以通过判断差的正负符号,来比较两式大小。
  
师:作差法的最终目标是“判断差的正负符号”,而不是“因式分解”,只要我们想办法判断出差的符号即可证明此题。请问:“因式分解”为什么可以判断差的符号?
  
生:根据每个因式的正负就可以判断差的符号,比如:同号两数之积为正,异号两数之积为负。
  
师:这确实是判断一个式子符号最常见的方法,但是目前没有办法将做差的结果化成乘积的形式。请思考还有没有别的方法判断一个式子的符号?
  
生:大数-小数>0,正数+正数>0……(学生思维的阀门一下子打开了)
  
经过一番思考之后,一位同学大胆地站了起来。
  
生:老师,我做出来了!
  

  
师:非常好,你的这个方法有点“另辟蹊径”的感觉。你是怎么想到的呢?
  
生:我觉得这个题之所以做不下去,应该是因为没有用上已知条件“,而且我看到“”,想到了初中学过的整式乘法:“”,我将它逆用一下,就将差化成了“大数-小数”的形式。
  师
:很好,这确实是初中因式分解中的一个常见模型。你借用“因式分解”,而最终又不是因式分解,奇妙的运用了题目条件:,非常好的一个办法。
  
点评:这个解法是将作差的结果进行了局部因式分解,从而判断出正负。这个方法抓住了作差法比较两式大小方法的本源:判断符号!
  
学生在学习过程中常常会自己去归纳一些解题的套路和方法,这本是无可厚非的。但是还应该搞明白这些解法的真正背景,回到数学问题的本源思考问题才是解题的基本出发点。
  
师:这个解法是对作差的结果进行了局部因式分解,将差化成“大数-小数”的形式,从而比较大小,你还有其他方法吗?
  
生:老师,我有个办法可以分解到底。
  
:
  
师:你对“因式分解”还是念念不忘呀(全班学生大笑)!你为什么会想到对作差的结果进行这样变形呢?
  
生:我想把作差的结果转化为“正数+正数>0”形式。我想到以前证明“时,可做如下变形:。而且因为有已知条件:,所以,而且分组分解法需要四项,作差的结果只有三项,所以我乘以
  
师:不错,你对因式分解掌握得比较好,而且分析的头头是道呀!在前面两位同学的启发下,你还有其他方法吗?
  
点评:联想到曾经所学的经典题目,学生已经能自觉地将“判断差的符号”作为自己思考的方向。
  
生:刚才的解法让我想到了课本上的一道例题:
  
已知,求证:(当且仅当时等号成立)。我记得这个题目有好几个办法,不知道能不能用到这个题目。
  
师:有想法就好,大家不妨尝试一下。
  
经过尝试,大家轻松地发现了下面的解法:
  
: ;同理,由+
  
师:不等式证明的基本依据是不等式性质,你利用了不等式的两个重要的性质,解法简单明了。
  
经过不断地诱导,大家相互激发,学生们潜意识里的一些旧知不断被唤醒,紧紧围绕所给问题积极尝试,学生思维逐渐活跃起来。
  
师:刚才几位同学从作差法大小比较的基本原理出发,得到了本题的一些解法。你还有什么办法可以判断一个式子的正负?
  
生:老师,我记得不等式的基本性质(特别是乘法性质)中,对参与运算的数的符号都有要求,但本题条件是,我们是不是可以对这个已知条件进行变形呢?
  
师:你这个发现很有价值, 不等式乘法性质对数的正负是有严格要求,比如我们学过一个判断符号的基本模型:
  
生:老师,让我们来试试。(从被动应战已发展到主动请缨了!)
  
生:老师,我们成功了!
  
,由又由
  
师:你的反应真够快啊!将一个未知问题转化为一个已知问题,这是一个重要的数学思想:转化与化归。最终转化为“大数-小数”的形式。
  
点评:抓住已知条件,将所给问题和某些重要的数学模型联系起来可以让学生的思维更加广阔。
  
经过启发,同学们的思维不再局限于对某一个点的关注,开始向面发展,这就使得他们的思维不仅具有深度,也有了广度。 正当笔者惊叹刚才这位学生的解法立意高远之时,一个学生站起来了。
  
生:我还有个解法比他的方法更简单(班级一片寂静,静待下文)。
  
,不妨设,同理
  
师:妙!你是如何想到这个方法的?
  
生:老师,既然不等式证明是建立在数的符号性质的基础上的,那我可以把转换成用与零有关的数加以表示。我也是在刚才那个解法的启发下想到的。
  
点评:此方法利用变量转换将原题的已知条件转化成两个两个正数 ,合理转化,去粗存精,使问题得以简化,堪称完美。
  
生:老师,既然刚才的解法是用两个新的变量分别表示,那么我们可否用其中一个表示另一个呢?
  
师:大家想想,这个想法是否可行?
  
生:应该可以,不过好像要分类讨论。
  
解:,设,则:,根据在题目中的“轮换对称性”,同理可证(证明略);(证明略)。
  
综上,当,成立。
  师
(由衷赞叹)套用当下一句流行的广告语: “你们的创意超乎我想象”!
  
点评:以上三个解法都是利用了“两数为正的充要条件”这个基本模型,学生充分体验了“转化与化归”数学思想的强大功能。也就是回归到问题的本源思考问题,虽然同学们打乱了笔者的教学设计,但学生们的出色表现为本节课增色不少,也令笔者对他们刮目相看。
  
师:下面让我们再回到开始的“正轨”上来。(会心的微笑)除了作差比较法,我们还学习了大小比较的什么方法?
  
生:作商法。
  
师:用作商法进行大小比较有什么基本要求,本题可否用作商法?请大家尝试一下。
  
经过一番尝试,大家顺利地用作商法找到了本题的又一解法。
  
解:,又
  
师:很好,这种方法在作商以后,利用了“放缩变形”,可见对不等式的性质的学习要全面。
  
在上述方法的基础上,学生又发现了以下解法:
  
解:,易证
  
点评:这两种解法要求在熟练掌握不等式性质的基础上,能够灵活地进行变量分析,在数学思维的要求上又上了一个台阶。
  
这是一个看似简单的大小比较问题,但是学生按照一般“套路”——因式分解进行下去,思维受阻,无法解决。通过笔者的引导,学生“回到本源”思考问题、寻找方法。在课堂上,学生学习热情高涨,迸发出了许多思维的火花,最终出现了八种不同的解法,学生分析问题和推理的能力得到了锻炼和提升。
  
三、一点思考
  
“不等式证明”是高中数学的重点和难点之一,它所用到的数学知识和方法比较综合,对学生的逻辑推理能力要求较高。学生证明此题的困难是只知道作差、“因式分解”,也就是“知其然,不知所以然”。遇到常规题轻松解决,如果作差的结果不是很容易分解(比如本题),或者不能分解,学生就无法解决了。笔者在一问一答中引导学生寻找到比较两数大小方法的根源:判断差的符号!在这个研究方向的引领下,学生积极尝试,得到了一个个漂亮的解法,获得了一次次成功的喜悦。学生还将所给问题和曾经学过的一个符号判断的经典模型联系起来,学生解题方向更加明确,更加自信。
  
华罗庚先生曾经建议我们,如果在数学上遇到困难时,那么我们可以退回去,“足够地退,退到最基本而又不失去重要性的地方”,这个“地方”可能就是解决问题的突破口(甚至是唯一突破口)。在平时的课堂教学中,应该让学生明确每一个解法的来龙去脉,也就是在学生在学习新课的时候就要清楚地知道这个方法的本源是什么?同时在平时的解题中学会从方法的本源思考问题,努力把学生课堂上“偶然出现”的一个个思维闪光点,变为“自发地”、“潜意识的”数学核心素养,这才是学习数学的真正价值所在。
  
最后,引用朱熹《观书有感》句:问渠哪得清如许,为有源头活水来,与诸位共勉。

 

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