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初三数学专题复习研究
徐建荣

 
  

初三数学专题复习研究
——等积式证明问题
松江区小昆山学校  徐建荣

 

【专题攻略
  上
海中考数学的23题,往往考察等积式(比例式)证明,这类问题通常有两问,第一问比较直接,对大多数学生而言基本不存在问题。而第二问,往往有些转弯,好多学生就存在困惑,要么没有思路不知该如何下手,要么有点思路了,结果把自己与给绕晕了。基于这样的情况,在执教过程中,我总结出了解决这类题目的方法和策略,并针对学生的学习存在的困惑,归纳了解这类问题的具体思路和方法。
  
解决等积式的题:分四步走。
  
1):看看有没有平行,若有平行,先找A8型。若没有平行,再找相似形。(这种类型的较为简单,本文不做说明。)
  
2):将等积式转化为比例式,若有A8型,通过两个平行得到两个比例,中间有一个等价的式子即为桥梁作用(类型1)。若没有A8型,则找相似,横着找,横着没有竖着找(类型2)。
  
3):若横竖都找还没有,则看看有没有相等的线段能被等量代换掉,然后继续横竖找(类型3)。补充:若证明的结论中有数字,则数字连同线段被等量代换。
  
4):若上述方法都行不通,则看看有没有这个比例式的一边被等量代换掉的(类型4)。
  
5):若上述方法还是不能凑效的话,可以考虑添加辅助线(通常添加平行线)构成比例。(类型5
【例题解析】
  
1.(2015.1松江一模卷)
  
已知:如图,D是△ABC的边AB上一点,DEBC,交边AC于点E,延长DE到点F,使得EF=DE,联结BF,交边AC于点G,联结CF
  
1)证:;(类型1
  
2)如果求证:(类型3


【解析】
  
1)题目当中有DE//BC,则运用策略1:有平行,先找A8型。结合题目要求证的比例。可以看出, AE:ACA字型当中,即:AE:AC=DE:BC.EG:CG8字型当中,即:EG:CG=EF:BC又因为EF=DE,AE:AC=EG:CG.
  
2)分析题目要求的结论,先将等积式转化为比例式策略1明显不可以,则找相似三角形。此时横着找不到三角形,竖着也找不到三角形。当横竖都无法找到时,看能否有相等的线段被等量代换掉,此时DE=EF.因此,竖着可以找到三角形即:△BCG与△ECF.则思考如何证明两个三角形相似。
  
由已知条件,转化为,又因为∠GFC=BFC.则△GFC∽△BFC.(两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。)可得:∠ECF=FBC因为 DE//BC, 则∠FEC=GCB.可得△BCG∽△ECF.(两角对应相等,两三角形相似),即评述:综合分析法,从结论入手,看适合运用第几策略,然后结合题目的条件双向夹击。2.2015崇明一模卷)如图,在梯形ABCD中,EF分别为边ADDC上的两点,且有


  
求证:;(类型2
  
【解析】
  
比例式:横竖找,可找到△BDE与△BCF.首先目标锁定了,结合题目的条件给予证明。已知,映入眼帘的是∠ABC=ABD+DBC.因此猜想∠ABC=2ABD=2DBC。根据已知条件,可知图形当中有基本图形 
     A                               D
 
B            C  
  ∵AD//BC,∴∠ADB=DBC
  
AD=AB    ∴∠ADB=ABD
  
∴∠DBC=ABD    ∴∠ABC=2ABD=2DBC
  
∵∠ABC=2C∴∠DBC=C=ADB∵∠EBF=C   ∴∠DBC=EBF ∴∠FBC=EBD
  
∴△BDE∽△BCF(两角对应相等,两三角形相似)
  
3.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,DE//BC,F在边AC上,DFBE相交于点G,且∠EDF=ABE.
  
求证:(1)△DEF∽△BDE;2DG·DF=DB·EF(类型4

【解析】
  
1直接通过两角对应相等两三角形相似即可证明。比较简单略。
  
2)先将等积式转化为比例式:DG:DB=EF:DF
  
找三角形,虽然能找到△DBG与△DEF.但是结合第一问的结论,很明显两个三角形不相似,因此就需另找策略。
  
3)此时从结论分析,发现会有EFDF,这是△DEF自身的两条边的比值。而△DEF∽△BDE,则可知EF:DF=DE:BE.因此若能证明DG:DB=DE:BE,题目便得以解决。接下来思考这个比例式,横着找有△DEG和△DBE,而这两个三角形明显的相似。∠DEB=DEG,EDF=ABE,两角对应相等,两个三角形相似。因此这道题目的解决,借用了中间比的桥梁作用。
  
4:已知DAB上一点,延长BCE,使CE=AD.求证:AB:BC=EF:FD(类型5
【解析】
  
1)找A8,横竖找相似,等量代换线段,中间比等量代换。发现都行不通。
  
2)通过添加平行线,找中间比。此时发现EFFD线段在同一直线上,因此构造基本图形,以它为基本图形中的线段比。因此过点DDG//ACBC于点G.一举两得,得出两个基本图形A字形。
  
DG//AC   EF:FD=EC:CG      AB:BC=AD:CG
  
EC=AD    EC:CG=AD:CG      EF:FD=AB:BC
  
(或者过点DDG//BCAC于点G.
  以
上的步骤可以重复的使用,直到被证的结论证出为止。若图形较为复杂时,可以把图形拆分成一些基本的图形,或者将部分需要的图形“分离”出来的办法处理。
  
总之,用科学的思维方式对所学的知识进行反思,归纳总结,提炼方法才能灵活贯通,思路开拓。我们做这样的专题复习的目标,就是用一类方法解决一类数学问题。从而提高学生的学习意识,以及自身的解题能力。


 【参考书目】
  
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2012.
  
[2]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].广西教育出版社,2008.09.

 

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