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例说初中数学教学中的分类讨论思想
唐歌晨

 
  

 例说初中数学教学中的分类讨论思想

小昆山学校 唐歌晨

  “分类讨论”是初中数学中的一种重要的思想,也是科学研究中最常用最基本的思想。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性那么,什么是数学中的分类讨论呢?一般来说,当一个问题给出的对象不宜进行统一的研究或推理,只有按某一个标准用分组的形式才能方便的表示出来,那么就需要对研究的对象进行分类(即分组)并对其中的每一类分别进行研究,最后综合各类的结果得到整个问题的结果。
  
分类讨论的思想广泛应用于数学的各种知识点和习题中,运用分类思想解决问题能够培养学生缜密思维的优良品质。因此在初中数学教学中我们应做到以下几点:
  
一、尽早渗透分类思想,培养分类意识
  
在初中数学教材中很多概念本身就需要分类。作为教师我们应该借此契机逐步渗透分类讨论思想。比如数的范畴在初中知识的学习中一步步进行了拓展。六年级第一学期复习了小学阶段学习的小数和分数,六年级第二学期扩展到有理数,七年级第二学期学习了实数到最后把实数进行了以下的分类:

  可以看到实数的学习,经历了从六年级第一学期一直延续到七年级第二学期。在两年的时间里,老师可以在数的范畴每扩充一点就将此结构图充实一些,在学生的脑海里循序渐进的画满结构图,逐步的有了分类的意识。
  另外,正是由于数的分类在学习下面的知识时又涉及到分类讨论思想
  (1)六年级下册中我们学习的绝对值的概念:
  
我们知道:一个数在数轴上所对应的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值。而距离不可能为负从而决定了一个数的绝对值总是非负的。而按照正负来分,数可以以分为正数,零,负数,因此:
  
   (2)在七年级第二学期学习平方根的性质时也把数分为正数零和负数进行分类讨论。由于负数没有平方根所以在八年级第一学期学习一元二次方程的根的情况的时候需要分为有实数根和没有实数根的情况进行讨论。它们的共性都是将数分为正数,零,负数进行讨论的。这些知识一环套一环形成整个初中数学的数和方程的知识体系。因此在初学数的分类时我们就不能忽视它的存在,把分类意识潜移默化在同学们的脑海中,让学生在学习的过程中自发的感悟分类的思想,让分类意识深入人心。
  
二、和学生一起概括分类的方法,培养学生思维的有序性和周密性。
  
(一)和学生一起归纳分类的常见方法
  
在初中阶段有关分类问题可以分成这几个问题
  
1.等腰三角形、直角三角形问题
  
1.若等腰三角形的一个角是,则它的顶角为____
  
解析:①当为顶角时,则底角为
  
②当为底角时则其他两角分别为
  
综上,顶角为说明:由于没有明确的角是顶角还是底角,对此照此进行分类。
  
2.中,AB=6cm,AC=8cm,若动点PC点出发,沿线段CB向终点B2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).t为何值时,是等腰三角形?
  
解析:①当PA=PB时,如图1BC=10,易得点P是斜边BC的中点,所以PC=5,所以t=;
       
     
②当BP=BA时,如图2 PB=6PC=4t=;
     
③当AB=AP时,如图3ADBCD,DB=DP
  
,可求得DB=所以PB=,PC=,t=;
    
综上所述,当t=s2s时,是等腰三角形
    
说明:此题只是笼统的说是等腰三角形,但到底哪两条是腰没有明确给出,这种题型是初中数学中最常见的题型之一,需要我们按照等腰三角形的腰的不同分成三类。
    
3.等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角是30,求等腰三角形顶角的度数。
            
    解析:如图4:若三角形是钝角三角形则腰上的高在形外,即30120
    
如图5:若三角形是锐角三角形则高在形内,即3060
    
说明由于题目中没有告诉我们是锐角三角形还是钝角三角形,而等腰三角形腰上的高有可能在形内,或者形外,所以要分类。
    
4.RtABC中,∠BAC=90AB=AC=2,点DRtABC外一点
   
解析:①当时,如图4BD=4
      
 ② 当时,如图5 BD=2BO=2
      
 ③当时,如图6BD==说明:中,没有指明直角或斜边时,应分三种情况进行讨论:,或者a是斜边或b是斜边或c是斜边.

  
  2.
图形的位置关系不明确引起的分类讨论
  
5.,直线DEAB边的垂直平分线,垂足为D,交另一边于E,且DE=15,则CE的长为    

  解析:分两种情况
  
(1)当顶角为锐角时,如图7直线DE 交边AC于点ERtAE=所以CE=AC-AE=40-25=15
  
(2)当顶角为钝角时,如图8,直线DE交边BC于点E.Rt中,BE=,作AFBC,垂足是F,BF=CF.

  由 == ,BF=

 

  所以BC=64所以CE=BC-BE=64-25=39.CE的长为1539.
  
说明:这类题常常有学生只考虑点EAC上,即为锐角的情形而造成错误,因为三角形一边的中垂线与另一边相交的情形会因为三角形的某个角是锐角还是钝角而有所不同,与此类似的情况还有三角形的高的问题,垂直平分线问题,都应分锐角三角形,直角三角形,钝角三角形进行分类。
  
6.已知相切两圆的半径是一元二次方程的两个根,则两圆的圆心距是A.7   B.17    C.1     D 6
  
解析:一元二次方程的两个根是34,当两圆外切时,圆心距是7,两圆内切时,圆心距的1,故选B.
  
说明:虽然题目中给出了两圆相切的条件,但是我们知道相切可分为外切和内切两种情况,故要分类讨论。
  
7.在半径是1的⊙O中,AB.AC为弦,且AB=AC=,则=      
  
解析①当圆心O的内 部时,如图9,作直径AD,连接BD,CD==所以==75
    
圆心O的外部时,如图10,作直径AD,连接BD.CD则得==157515
    
  
说明:这类题常常有学生因为只考虑了圆心O位于的内部的情形而造成了错误。圆心与角的位置关系有三种:圆心在角的内部,圆心在角的外部,圆心在角上的一边上。圆中的两条平行弦也有类似的情况。 
  
3.对应关系的不明确时引起的分类讨论
  
三角形的全等或相似中的判定和性质都体现了对应的思想,所以在已知图形全等或相似的前提下,解边或者角的问题需要突出边或角的对应关系。
  
8.已知三角形ABC,点D,E在三角形的边AB,AC上,若AB=6,AC=8.AD=3.且以A.B.C为三个顶点的三角形与以A.D.E为三个顶点的三角形相似求AE的长。
  解析:由于题目图形的不确定,不知道AB边的对应边是AD还是AE,因此分两种情况进行分类讨论如图:

  ①,即解得AE=4
  
,即解得AE=
  
9.一个直角三角形的两边长分别是68,则该直角三角形中较小的锐角的正弦值为_____
  
解析:①当8为斜边时,三边长为68,则较小锐角的正弦值是
     
②当8为直角边时,三边长为6810,所以该三角形中较小的锐角的正弦值是综上,此直角三角形中较小锐角的正弦值是
  
说明:由于最小的角对应的边不确定导致对应关系的不确定需要分类。
  
4.字母系数的不确定引起的分类讨论
  
10求解不等式mx>3
  
解析:①当m>0时,根据不等式的性质2,两边同时除以m,x>
     
m<0时,根据不等式的性质3,两边同时除以m,x< 
     m=0时无论x取何值不等式都不成立,x取空集。
  
所以当m>0时,此不等式的解集为 x>,当m<0时,此不等式的解集为x< m=0时,此不等式无解。
  
说明:当字母m不确定时解不等式时分别运用了不等式的性质23导致了结果的不同情况,所以要分类。
  
5.动点问题中的分类
  
11.如图,点E为矩形ABCDAD上的一点,点P ,点Q同时从点B 出发,点 P 沿 BEEDDC运动到点C停止,点Q沿着BC运动到点C停止,它们的运动速度都是1cm/s.P, Q 出发t秒时,的面积为y,已知yt的函数关系的图像如图(曲线OM为抛物线的一部分)。则下列结论:    
  
AD=BE=5cm
  
0<t5时,y=;
  
直线NH的解析式为y=      
  
相似,则t=
  
其中正确结论的个数是(    
  (A4  (B) 3   (C)2   (D) 1

  解析:根据图 可得,当点P到达点E时点Q到达点C;
  
因为点P.Q的运动的速度都是1cm/s,所以BC=BE=5cm,所以AD=BE=5.
故①正确;因为当0<t5时,曲线OM为抛物线的一部分,所以设y=a,将点(5,10)代入,得a=  ,y=     .故②正确;根据5-7秒时三角形面积的不变性,可得ED=2,当点P 运动到 C时,面积变为0,此时点P走过的路程为BE+ED+DC=11,故CD=4,点H的坐标为(11,0),点N(710)代入可得11k+b=0.7k+b=10,解得k=- ,b=   .故直线NH的解析式为y=-      ,故③错误;当t=   时,点P将落在边CD上的一点处,如图5.因为中,CP<BC<BP,中,AE<AB<BE,所以若相似,只能有一种对应关系  =   , = CP= .所以点PB开始运动到此点的路程为11-   cm,时间为 s   ,故④正确。应选B

  说明:对动点问题中德数量关系及对应的图形进行“分段破译”,挖掘每段图像所蕴含的信息和段与段间折点的信息,做到形数的结合和转换。
  
6.应用题中的不同方案
  
12.某楼盘一楼是车库(暂不出售)二楼至二十三楼均为商品房(对外销售)商品房售价方案如下:第八层层售价为3000/2,从第八层开始每上升一层,每平米的售价增加40元;反之,楼层每下降一层,每平米的售价减少20元。已知商品房每套面积均为120平方米,开发商为购买者制定了两种购房方案:
  
方案一 购买者先交纳首付金额(商品总房价的30%)再办理分期付款(即贷款)
  
方案二 购买者若一次性付清所有房款,则享受8%的优惠,并免收五年物业管理费(已知每月的物业管理费为a元)
  
1)请写出每平方米售价y(元/2)与楼层x(2之间的函数解析式;
  2)小张已经筹到了120000元,若用方案一购房他可以购买那些楼层的商品房呢?
  
3)有人建议老王使用方案二购买第十六层,但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算,你认为老王的说法一定正确吗?请用具体数据阐明你的看法。
  
解析:(1)楼层x有可能高于第八层,也有可能低于第八层。而每层楼每平米的售价均以第八层每平米的售价为参照进行变化,故此需要将楼层分为两种情况进行讨论。
     
2)小张购房采用的方案一,故此需要求出校长按这种方案付款的算式,需按照高于第八层和低于第八层两种情况来进行(承接第一问);无论购置哪个楼层,小张付款金额都不会大于120000元,由此产生不等式关系
     
3)判断老王自想的法则和方案二哪一个购房更划算,需先求出各自对应的付款算式。因为方案二中的算式中含有字母a,无法直接比较二者的大小,故采用逆向思维的方法分类进行。
  
解析:(1)2x是正整数时,有y=3000-20(8-x)=20x+2840
      
x是正整数时,有y=3000+40(x-8)=40x+2680
     
(2)①当2时,小张若买第八层需交纳首付金额为:(元)而108000元,所以小张可以从2-8层中任选一层
      
②当9时,小张交纳首付金额为()
      
x     =16 因为x为正整数,所以9
  
综上可知,小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层
            
3)若按方案二购买第十六层,则老王要交房款为()若按照老王自想的法则要交房款为()易得,得到
  
此时老王想法正确;当,解得,此时老王想法不正确。
  
说明:某些应用题中蕴含着不同的方案,则相应的计算法则也随之发生变化。
  
13.“节能环保,低碳生活”是我们倡导的一种生活方式,某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机,洗衣机和空调共40台,三种家电的进价和售价如下表所示:

      价格

种类

进价(元/台

售价(元/台)

电视机

5000

5500

洗衣机

2000

2160

空调

2400

2700

  (1)在不超出现有资金的前提下,若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同,空调的数量不超过电视机数量的三倍,请问商场有哪几种进货方案?
  
在“2012年消费促进月”促销活动期间,商家针对这三种节能型产品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张,多买多送”的活动。
  
在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出,商家预估最多送出消费卡多少张?
  
解析:(1)设购进电视机x台,则洗衣机是x台,空调是(40-2x)台,根据空调的数量不超过电视机数量的3倍,且x以及40-2x都是非负整数,即可确定x的范围,从而确定进货方案。
                     
(2)三种电器在活动期间全部售出的金额可以表示成x的函数,根据函数的性质,即可确定y的最大值,从而确定消费券的张数。
  
解:(1)设购进电视机x台,则洗衣机是x台,空调是(40-2x)台,
根据题意得:

  解得:8x10.
  
因为x是整数,从810共有3个正整数,所以又3种进货方案:
  
方案一:购进电视机8台,洗衣机8台,空调24台;
  
方案二:购进电视机9台,洗衣机9台,空调22台;
  
方案三:购进电视机10台,洗衣机10台,空调20台;
  
(2)三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700(40-2x)
  
y=2260+108000.
  
因为y=2260x+108000是单调递增函数,所以当x最大时,y的值最大。
  
因为x的最大值是10,所以y的最大值是是:226010+108000=130600(元)
  
因为现金每购1000元送50元家电消费券一张,所以130600元最多可以送130张家电消费券。
  
说明:本题因实际问题的不同需要分类讨论。
  以上应用题能力要求比较高,要求学生根据不同方案进行讨论,在具体方案中因为个别量的不确定又要进一步进行讨论,做此类题要求学生思维细致周到缜密。
  
(二)根据实际情况确定如何分类

  进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是不漏不重。例如在以上的六种常见的分类方法中每一类问题本身就是一种方式进行分类。如1.等腰三角形,直角三角形问题中一般按照腰的不同,直角顶点的不同进行分类,还有是由于锐角三角形,钝角三角形引起的分类2.图形的位置关系不确定时,按照图形的位置关系进行分类。如两圆相切时,按照相切的概念可以分为外切和内切。3.对应关系不明确引起的分类。在相似三角形当中边和角的对应关系的不确定引起的分类讨论4.字母系数不确定引起的分类讨论。5.动点问题(当动点运动到不同位置时产生的分类)6.应用题中的不同方案。 
  
解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。
  
(三)在分类过程中培养学生思维的有序性
  
例如在六年级第一学期练习册上有这样一道习题
  
14 四个数6.2.3.x组成一个比例求x.
  
解析:可以按照大小顺序分成四种情况:
  
x.2.3.6,则根据比例的基本性质则有:6x=2×3,解得x=1
  
2.x.3.6,则根据比例的基本性质则有:3x=2×6,解得x=4
  
2,3,x,6, 则根据比例的基本性质则有:3x=2×6,解得x=4
  
2,3,6,x, 则根据比例的基本性质则有:2x=3×6,解得x=9
  
综上x=1,4,9. 两个三角形相似,一个三角形的三边长分别是2
  
15.一个三角形的两边长分别为1,则他的第三边长为______
  
解析:设第三边长为x,已知三角形的三边按照从小到大的顺序为2, 
  
第一种情况:x1,由于,所以这种情况应该舍去。
  
第二种情况:,由于,所以x=
  
第三种情况:x,同第一种情况应该舍去。
  
说明:因为它和另一个三角形中三边中的哪一条是对应的并不明确,所以x的取值要分三种情况
  
(四)在分类过程中培养学生思维的缜密性
  
16.已知一次函数不经过第一象限,求m的取值范围
  
解析:由于正比例函数是特殊的一次函数,故m分两种情况
  
①当m=0时,函数为正比例函数,因为k所以图像经过二四象限,满足上述条件。
  
②当k又图像不经过第一象限,所以图像经过二,三,四象限,故m综合①②,得m
  
说明:正比例函数是一次函数的一个特例,所以在一次函数的解析式y=kx+b(k0)中若,要按照b=0b0进行分类,以免造成遗漏。
  
三、引导分类讨论,提升解决综合问题的能力
  
分类讨论能训练人的思维条理性和概括性,所以在中考试题中占有重要的位置.对近年中考压轴题进行综合分析时发现,每年需分类讨论的压轴题都占压轴题总数的3540%左右.这说明该种类型题具有极高的考查价值和选拔功能.本文将以中考数学题为例,对该种试题进行综合分析.本文就以初中数学中典型的分类问题加以举例
  
例题17如图所示,抛物线的顶点为A,直线y轴的交点为B,其中m0.
  
1)写出抛物线对称轴及顶点A的坐标(用含有m的代数式表示)
  
2)证明点A在直线上,并求∠OAB的度数.
  
3)动点Q在抛物线的对称轴上,则抛物线上是否存在点P,使以PQA为顶点的三角形与△OAB全等?若存在,求出m的值,并写出所有符合上述条件的P点坐标;若不存在,说明理由.

  
解析:(1)对称轴,顶点Am,0
               (
2)把xm代入
      
∴点Am,0)在直线上,直线y轴相交,则B点的横坐标为:B点坐标为,由三角函数知识可得:即∠OAB60°
     (3)
因为全等的对应关系,因而需进行分类论,找准对应关系,从而解决问题。
  
解:(1)对称轴为直线,顶点Am0
            
(2)代入函数
    
∴点Am,0)在直线.x=0时,
   
 
  
∴∠OAB=60°

   
(3)如图,以PQA为顶点的三角形与ΔOAB全等,共有以下4种情况:
  
 ∴点的坐标为,代入抛物线解析式得: ∴ ∴
  
      ∴
  
 ∴点的坐标为代入抛物线解析式得: ∴ ∴
  
 ∴点的坐标为,代入抛物线解析式得: ∴ ∴
  
分析可知,关于抛物线对称轴的对称点均符合题意;
  
综上所述,符合条件的P点分别为;(03),.
  
综上所述分类讨论问题应用非常广泛,需要我们根据题目的类型进行具体问题具体分析。

 

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