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数学概念的变式教学
邵红能

 
  

数学概念的变式教学
——以“等比数列的定义及通项公式”为例
上海市城市科技学校 邵红能

  “变式”在我国数学教育教学中的研究有一段历史。一直以来我国学生存在着课业负担过重问题,这表现在习题多、练习多和试卷多,把生动活泼的教学过程演化为机械重复的解题操作。而教学实践表明,基本知识和方法的掌握需要一定程度的重复。但如何提高重复的效果呢?著名数学教育专家华东师大张奠宙教授指出:“重复”通过变式得以发展。上海教科院顾泠沅教授在传统的“概念变式”基础上,提出了“概念性变式和过程性变式”。南京大学郑毓信教授在关于变式的论述中指出:“当概念被认为是静止对象时,概念性变式是卓有成效的方法”,由此表明,“概念性变式”是为了帮助学生更好地掌握概念的本质,而“问题变式”是帮助学生学会“问题解决”。
  
等比数列是一种特殊的数列,它有着非常广泛的应用,如产品规格设计的问题,储蓄、分期付款、资产折旧的有关计算等。因此,教材从生活中的例子引入,力图让学生体验数学与生活的紧密联系。教材将等比数列安排在等差数列之后,有承前启后的作用。一方面与等差数列有密切联系,另一方面为进一步学习数列求和等有关内容做好准备。本节课从变式引入、变式表征、变式辨析和变式应用四个方面设计“等比数列的定义及通项公式”的变式教学,为概念教学提供一种新的尝试,以此希望能起到抛砖引玉的作用。
  
一、教学目标与学情分析
  
教学目标:知识目标,理解等比数列的定义、等比数列的通项公式;利用通项公式作一些简单的应用。能力目标,学生通过公式的探求,培养学生的观察、类比、猜测能力;运用推理方法,提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。德育目标,通过教证明、教猜想,学生领会数学的严谨性和探索精神;培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
  
学情分析:本班学生中考入学数学成绩一般,不过,由于本节内容比较基础,教师只要善于调动,学生的学习热情会很高的,愿意与教师合作。遵循以学生为主体,教师为主导的教育理念,一定程度上提高学生的学习效率。在教学时不可盲目地拔高和追求一次到位,而在今后的学习中,学生不断进行滚动式、螺旋式的尝试。
  
本节课的教学中,不但教学生进行知识(等差数列与等比数列)的类比,而且还教学生方法(探求问题的思路)的类比。这里的“教”,实际上是启发引导学生“想”与“说”,这是符合“重视知识的产生、发展与深化过程”的现代教学原则的。通过对公式的探索、发现,在知识发生、发展和形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力,以及从生活实际中抽象出数学模型的能力,初步渗透数列是特殊函数的思想。为突出与等差数列的对比,可让学生自己将所学知识整理成表格。
  
建构主义理论认为,一切教学活动都应当以学生的自主活动为基础,以智力参与为前提,又以个人体验为终结,学生的学习不是仅凭由外向内的传递就能达成的,它需要学生自主地进行选择加工,通过新旧知识的相互作用,主动改造、充实已有的知识经验,通过建构主动赋予这些知识一定的意义,以形成新的经验认识。可见,等比数列的教学使学生理解等比数列的概念,推导并掌握通项公式;使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养他们的观察、概括能力。
  
二、概念变式的教学设计
  
1.变式引入
  
问题:观察下列数列的特点并填空。
  
12481632,( ),128256
  
21,-39,-2781,( 
  
分析与点评:不难发现,数列中,从第2项开始每一项与它的前一项的比都等于同一常数。对比等差数列的学习,学习从数列的相邻项的关系,寻找规律。
  
2.变式表征
  
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这样的数列叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比,通常用小写英文字母表示。
  
数学表达式:,…,,…
  
例题1:在等比数列中,,求公比 
  
解:由等比数列的定义知:,
  
学生练习:1.在等比数列 
  
分析与点评:将数学概念转化为数学表达式,这是数学抽象能力的关键。借助表达式,剖析例题。在练习中,巧妙设计求解第2017项,激发学生思考数列的通项。
  
3.变式辨析
  
公式的推导,由等比数列的定义知:,…, 个等式两边相乘得到),从而得到等比数列的通项公式:
  
4.变式应用
  
例题2:求等比数列的第10项以及通项公式
  
解:由于由数列的通项公式知学生练习:2 .求等比数列26,…的第7项与通项公式。

 

等差数列

等比数列

   

从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。

字母记号

首项,项数n,通项,公差

首项,项数n,通项,公比

特征性质

通项公式

  分析与点评:例题中,由 ,也可。练习部分是对例题的进一步强化。最后,让学生填写表格,总结并寻找等差数列与等比数列的共同点与异同点。
  
三、本节课的教学反思
  
1.以学生认知为基础,对比引入新概念
  
就本课而言,学生已学习了“数列”和“等差数列”,对数列的感性认识非常丰富,有了一定的学习经验。不需要完全重复“等差数列”的学习过程,引入环节不需要教师呈现现实情境中的正例,而是要把学习的主动权还给学生,让学生自己去反思,去联想,去发现,去归纳,最后通过讨论确定本节课的研究内容和方法。
  
等差数列的要素是“作差”和“差相等”,等比数列的要素是“作比”和“比相等”,前者是“运算”后者是“结果”。这样的教学设计,强调发挥数学的内在力量,从数学知识发展的逻辑必然性中提出问题,揭示了每一个概念都从属于一个小系统,为学生构建了前后一致、逻辑连贯的学习过程,使他们在掌握数学知识的过程中体验到系统思维,学会主动思考。
  
依据上海“二期”课改理念,教学过程是教师和学生共同参与的过程,教师要启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性,并有效地渗透数学思想方法,提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标,并为激发学生的学习兴趣。以学生为主体,以训练为主线,这样更能突出重点、解决难点,使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高。教给学生方法比教给学生知识更重要,本节课注重调动学生积极思考、主动探索,尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间。
  
2.以数学概念为基准,理解数学符号化
  
通过引导学生对几个具体数列特点的探索,然后一般地归纳这类数列的特点,进而给出等比数列的定义,并将其数学符号化,再对几个具体数列进行鉴别,旨在遵循“特殊-一般-特殊”的认识规律,使学生体会观察、类比、归纳,培养学生观察、分析能力,抽象概括能力。
  
等比数列定义引出之后,如何研究等比数列,受到等差数列的学习启发,探索等比数列的通项公式。通过引导学生试着求,进而归纳猜想出的形式,然后进行检验证明,旨在揭示科学实验的规律,从而暴露知识的形成过程,体现数学发现的本质,培养学生逻辑推理能力及勇于探索的精神品质。
  
如何激发学生的求知欲是教学设计中必须注意的一个问题。在引导学生探索等比数列通项公式时,我们通过对一个习题中求解困境的设置,以激发学生探求等比数列通项公式的欲望。
  
本节课的教学中,我们教学生进行知识的探究,而且还教学生方法(探求问题的思路)的形成。这里的“教”,实际上是启发引导学生“想”与“说”,这是符合“重视知识的产生、发展与深化过程”的现代教学原则,体现以学生为主体,教师为主导的教育理念。
  
3.以知识应用为原则,提升学生思维能力
  
对等比数列的考查历来是高考数学的难点内容之一,试题两极分化明显:一类较为关注公式的记忆、技巧的合理应用;另一类更多的是通过知识的交汇与链接,全面考查等比数列的综合应用。等比数列的重点,熟练记忆等比数列的通项公式,培养观察能力,寻求项与项之间联系,掌握必要的变形技巧,提高准确的解题方向。
  
在探讨等比数列通项公式的过程中,将渗透于教材中的数学思想方法给予充分的挖掘。例如,在由等比数列的定义通过递推发现n关系的过程中,训练了递推归纳的数学思想。通过对等比数列通项公式的研究,逐步培养学生递推、观察、归纳、猜想等思维品质,培养和发展学生的数学思维能力,培养和发展应用意识和创新意识,体会教学过程中所蕴涵着的数学思想方法,以及它们在后续学习中的作用。
  
由学生通过类比等差数列定义的关键词给出等比数列的关键词,进而得到等比数列的概念。数学概念的教学一定要注重概念的发生过程,让学生经历概念的再创造,感悟数学发现的魅力。在教学中,积极渗透方法论的教学,让学生认识到类比是一种重要的数学想方法,是数学发现的重要途径。
  
正如波利亚指出:“首先尝试最简单的情形是有道理的,即使我们被迫最后返回到一种比较周密的较为复杂性研究,那以前最简单情形的研究也可以当作一种有用的准备。”从某种意义上说,猜想的发现的先导,验证猜想的正确性可使猜想变得更可靠,而经过证明正确了的命题终于使猜想变为了真理。这一过程中,各类学生都有问题可想,有话可说,有事可做,学生的思维积极性被极大地调动了起来。本节课把等比数列定义及通项公式的探索、发现、创新等思维过程的暴露,知识形成过程的揭示作为教学重点,同时,由于“思维过程的暴露,知识形成过程的揭示”不像将知识点和盘托出那么容易,而是要求教师精心设计问题层次,由浅入深,循序渐进,不断地激发学生思维的积极性和创造性,使学生自行发现知识。“创造”知识,这是对教师,也是对学生高层次的要求,因而是教学的难点之一。
  
在本节课内容之前,学生对数列,特别是等差数列的定义、通项公式等知识内容及其探求的思路,已有了较深刻的理解。而等比数列的有关知识内容的探求思路与等差数列是类似的,因此采用启发式、谈话式的教学方法,引导学生进行类比推理可以使学生不知不觉地参与教学的全过程,为使学生自己探索发现等比数列的有关知识营造了良好的氛围。
  
新课程的课堂教学,提倡教与学互动,变式教学恰好是一种很好的形式。在变式中,教师不仅要在教学中设计概念变式问题,也要有意识培养学生参与变式问题设计的思考维度研究活动中去,要激发学生的参与者积极性和采纳学生的变式设计。变式教学,对其效果的检验和归宿是看学生的掌握知识的水平和能力。可见,通过变式教学不仅能使学生全方位、多层次的的认识问题的本质,而且能使学生亲自参与到实践中去,提高学习兴趣,从而获得问题更深层次的理解,拓展学生的思维能力,为促进学生智力和能力的提高,获得高效课堂的教学效果做好铺垫。
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