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在变式与反思中展示过程 促进思维发展
周卫斌

 
  

    在变式与反思中展示过程 促进思维发展
——以初三几何复习为例
东华大学附属实验学校 周卫斌

  数学学习离不开解题,考察“新问题”与“原有问题”的关系,“新问题”常常是“原有问题”的推广、特例或变式,即使没有这种直接的关系,有时也能从类比的角度找到新旧知识之间的相似形,并从中发现需要研究的问题及方法。考察问题解法,同一问题不同解法,或一类问题的各种解法,往往是沟通知识之间内在联系有力桥梁,寻求问题的不同方法,或提炼不同解法的相同、或相通之处,往往可以揭示方法的本质,促进对知识、方法的理解。在初三复习、尤其是二轮复习中,如果靠重复刷题或机械训练,常常不能达到巩固知识的目的,更不能促进对方法的理解、能力的迁移。在笔者多年的教学实践中,通过精心选择或编制典型问题,通过一题多变、一题多解、适时反思提炼等措施,不仅提高了效率,而且减轻了负担。
  
一、精选问题的标准与示例
  确定的选题标准一般有四个:一是基础性,学生入手容易,有利于数学核心知识和基本思想方法的掌握,一般将选题限制在课本的例、习题和中考题的范围内;二是开放性,题目切入角度多,与较多的数学知识和方法有联系,通过变式可以引出新的问题,一般它都要事先通过对所选题目进行反复推敲和探究后,再决定取舍;三是探究性,所选问题要求学生能作归纳假设进行探索,能对数学问题进行延伸、拓展,能对解决问题的过程进行反思、评价等;四是简洁性,问题的表述简单易懂,清楚明白。总之,就是要使所选问题成为“载体简单,变化多样,解法灵活,思想深刻”的经典好题。
  
例如:九年级第一学期数学教材P38例题:
  
例题1:如图1,已知△ABC中,AB=AC=10BC=16,点PF分别在BCAC上,BP=12,∠APF=B,求CF的长。

  
问题评析:从问题背景上来看,本题以学生熟悉的、且地位突出的等腰三角形为背景;从问题的发展空间来看,本题的定点PAF可以变成动点,等腰三角形背景可以变为等腰梯形等等,从问题的解法来看,本题可以通过寻找相似三角形,得到比例式,从而建立方程求解,也可以以此解△ABC、△ABP、△PCF,从而获得问题的解;从背景知识和解题方法来看,都是核心知识和典型方法。

教材、习题或中考试题中,类似问题很多,但需要教师要有发现的眼光和分析的能力,又如:
  
例题2:如图2,在△ABC中,点DAC上,且ADDC=12EBD中点,AE的延长线交BC于点F,求BFFC
  
问题评析:本题是一道经典的反应几何图形位置关系与数量关系的问题,典型的特点是变化多样,解法多样,思想统一。

  
二、通过一题多变,将问题层层推进,沟通简单问题与复杂问题之间的联系
  一题多变既可以改变条件,也可以改变结论。即针对条件和结论思考“如果这一属性不是这样的话,那它可能是什么?”,对各种可能性的变化提出新的问题,对一个题目,多向联想,八方联系,浑然一体,通过变式激发学生的探究欲望。
  
例如:例题1,这一题给学生呈现了“一线三等角”的常见图形,教参中明确指出:“可引导学生将证明△BPA∽△CFP的过程一般化,当保持∠APF=B时,则点PBC上移动过程中,两个三角形总有△BPA∽△CFP,教师应当引导学生观察总结此知识点的几何特征和解题思路,遇到类似的模型能够快速找到解题的突破口。
  
基于以上认识,将原型中BC上的点P移动到BC的中点,再将∠APF绕点P进行逆时针旋转,形成了一道新的习题。

  
变式一:如图3,△ABC中,AB=AC=10BC=16PBC边的中点,EF分别在ABAC边上,∠EPF=B
  
1)求证:①△BPE∽△CFP;②△BEP∽△PEF
  
2)探索:△PEF是否可能为等腰三角形,若可能求当△PEF等腰时求出BE的长;若不可能简要说明理由。
  
意图说明:由原题到变式一出现了一些新的元素,我们要引导学生与原型进行比对观察,求同存异,让学生明白,即使是我们通常所说的常见图形也是处在动态的发展过程之中,帮助学生破除思维定式,培养学生发散思维能力。第二问在探索△PEF是否可能为等腰三角形时,既引入了分类讨论思想,又可以通过△BEP与△PEF相似,将探索△PEF是否可能为等腰三角形化归到△BEP中来解决,进一步丰富了题目的内涵。
  
在变式一的基础上,将图中的等腰三角形改成等边三角形,∠EPF继续绕点P进行逆时针旋转,形成这样一个问题。

  
变式二:如图4,在等边三角形ABC中,AB=4,点PBC的中点,过P点作射线PEPF,使∠EPF =60°,射线PF与边CA的延长线交于点F,射线PE与边BC交于点E
  
1)求证:△BPE∽△CFP;(2)△BPE∽△PFE.
  
2)设AE=x EF=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域。
  
意图说明:尽管图形变得“面目全非”,但是在解决问题时,依然还是依靠三角形相似来切入的。结合变式一、变式二引导学生总结归纳出已知一角对应相等,求证两三角形相似一般方法。无非是两种情况:一是再找出一对对应角相等(原型、变式一求证①),二是证明这一对角的两条夹边对应成比例,从而形成解决此类问题的一般方法。(这一做法在基本要求101页上也有所体现)
  
除此之外,我们还可以将原型中的等腰三角形改成等腰梯形,再将图形放入直角坐标系中,这样把平面几何问题延伸到解析几何,进一步提升学生解题能力。
  
变式三:如图5,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,B50),M为等腰梯形OBCD底边OB上一点,OD=BC=2,∠DMC=∠DOB60°
  
1)求点M的坐标;
  
2)∠DMC绕点M顺时针旋转α30°<α<60°)后得到∠D1MC1(点D1C1依次与点DC对应)射线MD1交直线DC于点E,射线MC1交直线CB于点F,设DE=xBF=y,求xy的函数关系式。

  
意图说明:此变式中将原型置身于直角坐标系背景中,在解决第一问点M的坐标时依然是通过△DOM与△MBC相似得到OM=14M为(1,0)或(4,0)。
  
第二问在第一问的基础上分两种情况:
  
第一种情况:如图6,当OM=1时,由OD=2OM=1,∠DOB60°发现M点就是点Dx轴上的垂足,由30°<α<60°,∠DMC60°,可作∠DMC的平分线MQDCQ,则E点一定在线段QC上(不包括Q,C点),F一定在CB的延长线上。由△DEM与△CFM相似,进而得出得到对应边成比例,形成y关于x的函数解析式。

  
第二种情况:如图7,当OM=4时,则E点一定在线段QCF一定在线段CB上,由△DEM与△CFM相似得到,进而得出得到对应边成比例,形成y关于x的函数解析式。

  
实质上以上几种变化都是基于原型中“一线三等角”的常见图形,再通过图形的旋转运动、图形变换、背景变化所形成的。这样,把一个问题化为梯度渐次上升的一个问题系列,将老师的思维呈现给学生,促使学生的思维活动跟着老师的步伐从不同的方向和不同的层次上逐步展开。让学生感受变中不变的本质,体会图形变化的规律,沟通简单问题与复杂问题之间的联系,获得解题的一般思考方式。
  
三、通过一题多解,展示师生思维,开阔学生思路,发散学生思维
  一题多解是指从不同角度,运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法,选择典型的问题进行一题多解训练,不仅可以开阔学生思路,发散学生思维,而且通过对比分析,还可以发现不同解法的本质相通之处,促进学生寻求更为简单解法和途径。
  
教学过程中,教师要留给学生充足的时间和空间,给学生尝试(包括试误和顿悟),在学生有困难时给予必要的引导,在学生有所思考的基础上,进行必要的反思和总结。
  
如例题2,本题除了可以从特殊到一般进行灵活变式外,在解法上灵活多样是本题的重要特点,以此为例,引领学生探究问题的解法,提升学生思维能力。
  
本题解法很多,概括起来有以下三类:
  
第一类方法:做平行,找比例
  
方法1:如图8所示,过A点分别向其它两条线段(不相交)作平行线;

                                    图8
  方法2:如图9所示,过B点分别向其它两条线段(不相交)作平行线;

  
方法3:如图10所示,过C点分别向其它两条线段(不相交)作平行线;

  
方法4:如图11所示,过D点分别向其它两条线段(不相交)作平行线;

  方法5:如图12所示,过E点分别向其它两条线段(不相交)作平行线;

 
  方法6:如图13所示,过F点分别向其它两条线段(不相交)作平行线;
 
  
上述12种方法可以概括为过图中任意字母(ABCDEF)作平行线,将问题转化为学生熟悉的图形(即教师们常说“A”或“8”字两种基本图形),从而建立已知线段的数量关系与未知线段的数量关系之间的联系。
  
第二类方法:面积法
  
如图14,联结DF易得SADFSDFC=12;又因为EBD的中点得到SABF=SADF;继而得到SABFSAFC=BFFC=13。所以BFFC=1:3

  
第三类方法:通过梅涅劳斯定理求解将图形简化为如下形式由梅涅劳斯定理得因为,所以
  
上述方法形式上各异,但却存在本质上的联系,第一类方法采用的是三角形一边平行线的性质定理,而定理的证明教材中采用的就是面积法,而梅涅劳斯定理的证明既可以通过本例的第一类方法证明,也可以由第二类方法获得。这样,通过一题多解,多解比较,不仅激活了学生的思维,而且深化了学生对问题的本质认识。
  
四、运用思维导图,展现思维活动过程,优化学生认知结构
  
思维导图的一个很重要特点就是能够将离散的知识结构化和整体化,能将放射性的思考具体化,能够用文字和图像将大脑中的想法画出来,使人的隐性思维显性化。思维导图不仅可以用来表示问题的变式过程,也可以用以解法的探索过程。
  
例如例题1的变式,通过图15,学生可以清楚地看出教师出题的变式是围绕“一线三等角”知识点进行,解题的突破点还是从复杂的几何图形中提取出一线三等角的一般图形,那么此知识点所能得到的结论就都转化成了隐藏的的已知条件,从而解决问题的可能性变大,学生不仅能够清晰教师的解题思维,同时自身的解题思维也得到了有效的训练和提升。

例题2的思考过程和各种解法,可通过图16的思维导图来呈现:

  
  在初三复习,尤其是几何解题教学过程中,我经常鼓励学生画出自己的思维导图,展示自己的思维过程。同时,教师适时介入,用精心设计的问题串来引导学习(例如本质是什么?思路是什么?为什么?怎么想的?还可以怎么想),努力寻找教师教师教学思维和学生解题思维的链接之处,形成师生间“教”与“学”的思维回路,帮助学生将“点到点”的思维模式转化为“块到块”的思维模式,促使学生内在的知识结构进行重组,进一步增强学生透过现象看本质的能力。通过这样不断的对问题进行总结、梳理,展现教师、学生甚至数学家的思维活动过程与规律,使学生不仅掌握了知识、建立了知识之间、方法之间的联系,而且使学生能在解题活动中学会解题,从而达到提高效益、提高质量的目的。
【参考文献】
  
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