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初中生数学解题思维障碍及解决策略

 
  

初中生数学解题思维障碍及解决策略
松江区立达中学 庄士忠

  一、初中学生数学解题常见思维障碍
  
数学解题过程一直是体验感悟的过程,数学解题的教学过程,应该是学生学习提高、吸收和长进的过程,更是积累、形成思想方法的过程。学生在解题时常见的思维障碍主要有以下类型:
  
1.对数学概念的认识肤浅
  
由于在学习过程中,对一些数学概念或原理没有深入理解,不能脱离表象而形成抽象的概念,自然难以把握其本质含义。
  
1:已知反比例函数的图象有上两点,,则m的取值范围是(   )。
  

  
本题许多学生仅根据,便认为这个函数值随x的增大而增大。得12m0,而误选D。其根源是对反比例函数的性质没有理解透彻。这种因对基本概念的理解不透彻而出现的思维障碍,在数学解题中应该都深有体会。
  
2.思维定势束缚
  
所谓思维定势,就是按照积累的思维活动经验教训和已有的思维规律来解决问题,在情境发生变化时,它则会妨碍人采用新的方法。消极的思维定势是束缚创造性思维的枷锁
  
2:右图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图。根据统计图,下面对全年食品支出费用判断正确的是(    )。
  
A、甲户比乙户多        B、乙户比甲户多  C、甲、乙两户一样多 D、无法确定哪一户多

  例3:下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图。

  根据统计图,下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中,正确的是(    )。
  
A.甲户比乙户大         B.乙户比甲户大 C.甲、乙两户一样大    D.无法确定哪一户大
  
2在平时的作业及考试中,经常会出现,类似的题目做得比较多,于是到例3中,许多学生选择了D。究其根源是学生受例2的影响,因为例2没有告诉总支出,所以只有比例无法求出具体费用,而例3则可以求出总数,答案应为B。由于在解题时形成思维定势,不考虑问题的本质,而匆匆得出答案。
  
3.忽视隐含条件
  
数学中的定义、公式、法则、概念等都有其成立的前提条件。但综合到数学题目中,这些条件或已给出但不明显,或没有给出却渗透在题意中,这些条件称为隐含条件。解题时若思考问题不深入,很容易忽视这些条件而导致错误。
  
4:已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围。
  
错解为:由已知,得而忽略了这一隐含条件。
  
5:如图,已知EF是梯形ABCD的中位线,ΔDEF的面积为4cm2,则梯形ABCD的面积为     cm2
  
很多学生不能分析出ΔDEF与梯形ABCD面积之间的关系,产生这一障碍的原因是学生没有考虑到题目中的隐含条件以及ΔDEF的高是梯形ABCD高的一半。则很容易得出梯形面积是ΔDEF面积的4
  
4.数形结合思想缺失
  
数形结合法就是根据数学问题的条件与结论之间的联系,既分析其代数含义,又提示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,数形结合是数学能力的综合体现。
  
6:已知点M是半径为5的⊙O内的一点,且OM3,在过点M的所有弦中,弦长为整数的弦的条数为(  )
  
A2     B.3    C.4     D.5
  
大部分学生都能计算出过点M的最短弦长为8,最长的弦为直径,长为10。从数的角度知道弦的长度分别为8,910,共有三种情况,而误选了B,但未从图形的角度考虑长度为9的弦对称地有两条,所以应该有 5条。产生这一错误的根源是学生没有把数与形有机地结合起来。
  
5.分类讨论的数学思想缺失
  
分类的数学思想,就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点(比如文字的不确定性),将其分成几个不同种类分别进行讨论,从而解决问题的一种数学思想。这种数学思想要求思维有一定的条理性和缜密性。但学生缺乏这样的思维意识,经常出现漏解。
  
7:等腰三角形一腰上的高与腰长之比为12,则这个等腰三角形顶角的度数为      
  
这是一道很容易出错的题目,许多学生仅想到锐角等腰三角形的情形(如图1),而忽视了钝角等腰三角形(如图2)。究其原因就是由于学生不具备分类的数学思想。再如等腰三角形的一个外角为70?,则它的底角为        度。
 
  6.
缺乏应用意识和想象能力
  
数学应用意识是对客观物质世界中存在的数学知识应用的反映。数学思想方法向一切领域渗透,数学的应用越来越被社会重视。但目前,初中学生的数学应用意识较弱。
  
8:在七年级的数学兴趣小组活动课上,有这样一道应用题:
  
甲、乙二人以1m/s的相同速度沿直线相向而行,同时一只狗以3m/s的速度从甲的身边跑向乙,遇到乙后立即又转向甲,如此往复,设开始时甲乙二人的距离是1000m,问甲乙相遇时,这只狗跑了多少米?
  
不少学生对此题的“信息源提取”能力较弱,一见题目复杂便不知所措,于是形成了思维障碍。因为在一些学生脑中,狗的路程总是分段考虑的,即先求出狗第一次遇到乙时走的路程,再求出狗第二次遇到甲时走的路程,这样来回往复,最后将所得的路程相加,便是狗行走的总路程。由于搞不清有多少段,求路程的总和,当然就难实现了。
  
其实,只要从整体的角度去思考,已知狗的速度为3m/s,只要知道狗行走的总时间,便可求出狗行走的总路程,而这个时间正好是甲乙二人相向走完1000m所用的时间500s,故狗一共跑了3×5001500m
  
二、如何克服数学解题中的思维障碍
  1.加强基本概念的理解,提高思维的免疫力
  
概念既是思维的基础,又是思维的结果。在概念学习过程中,要注意:①概念产生的背景,了解定义的合理性和必要性;②概念的形成过程,领悟概念的本质属性;③加强对基本概念的巩固与训练。对易出现思维障碍的地方,呈现各种正与误的辨析,在变式和比较中增强免疫力,活化思维;④建立错题档案,搜集和整理学习中出现的错误,进行多次反复订正,并在学习小组内互相交流,切实有效地防止错误的发生。
  
2.加强思维训练,培养正确的思维方式
  
数学学习不仅仅是学习数学知识,思维能力培养也相当重要。在数学学习中要突破思维障碍,要学会分析问题的基本方法,培养其正确的思维方式。尤其在例、习题课中,要把解题的发现过程作为重要的环节,既要知道该怎样做,还要知道为什么要这样做,发现其原有的思维框架,作业中可以把错误暴露出来,搞清问题的本质,从而做到对症下药,清除病根。在数学练习中,要认真审题,细心观察,挖掘关键的隐含条件,养成每做一题,就要反思“这样解题有没有错”的好习惯。培养思考问题全面透彻,解答问题追根究底的习惯。剖析自己发现和解决问题的过程,总结运用了哪些基本的思考方法和技巧,它们的合理性如何,效果如何,有没有更好的解答方法,学习中走过哪些弯路,犯过哪些错误,原因何在等等。此外,还应加强分析、综合、类比、逆向应用公式的训练,并通过对错解、漏解的剖析和一题多解的训练,提高综合能力。只有这样才能消除思维定势在解题中的影响,有效地突破思维障碍。
  
3.加强数学思想的渗透,培养创新精神
  
初中数学的基础知识主要是概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。在《新课标》总目标中特别提出学生要“获得适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基本知识、技能以及基本的数学思想方法”。掌握好数学思想方法、培养创新意识是全面提高思维品质的必要条件,也是突破思维障碍的重要途径。
  
思维障碍造成的解题失误的疏导,是一项长期的工作,需要对学习和作业的过程进行反思,寻求合适的角度,排除影响解题的思维障碍,寻求突破思维障碍的最佳途径。只有这样,数学思维才能得到充分的锻炼和最佳的发展。

 

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